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mathe/abi/Analysis.html

@@ -34,11 +34,11 @@
 <li>Geschlossen: <span class="math inline">[-1, 1]</span> - beide Intervallgrenzen sind enthalten</li>
 </ul></li>
 </ul>
-<p>Bei Intervallen mit Unendlichkeiten müssen auf Seiten der Unendlichkeit immer runde Klammern verwendet werden, da unendlich ja kein erreichbarer Wert ist:</p>
+<p>Bei Intervallen mit Unendlichkeiten müssen auf Seiten der Unendlichkeit immer runde Klammern verwendet werden, da unendlich kein erreichbarer Wert ist:</p>
 <p><span class="math inline">(-\infty, +\infty)</span>, <span class="math inline">(-\infty, b]</span>, <span class="math inline">[a, +\infty)</span></p>
 <h2 id="terminologie">Terminologie</h2>
 <p>Stelle: X-Wert</p>
-<p>Punkt: Paar (X, Y)</p>
+<p>Punkt: Paar <span class="math inline">(X, Y)</span></p>
 <h2 id="funktionen">Funktionen</h2>
 <h3 id="definitionen">Definitionen</h3>
 <ul>
@@ -128,23 +128,18 @@
 <li><span class="math inline">cos&#39;(x) = -sin(x)</span></li>
 <li><span class="math inline">sin&#39;(x) = cos(x)</span></li>
 </ul>
-<blockquote>
-<p>Merkhilfe: “Ableitungskreis” <img src="data:image/png;base64,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" alt="Ableitungskreis" /></p>
-</blockquote>
-<p>Aufleitungen entsprechend “rückwärts”.</p>
 <h4 id="inverse-1">Inverse</h4>
 <p>Die Inversen zu den trigonometrischen Funktionen <span class="math inline">sin</span>, <span class="math inline">cos</span> und <span class="math inline">tan</span> heißen <span class="math inline">arcsin</span>, <span class="math inline">arccos</span> und <span class="math inline">arctan</span> (“arc” ist dabei kurz for “arcus”). Bei Taschenrechnern findet man meist als Notation für Inverse <span class="math inline">sin^{-1}</span>, <span class="math inline">cos^{-1}</span> und <span class="math inline">tan^{-1}</span>.</p>
 <h3 id="änderungsrate-steigung-über-zeitraum">Änderungsrate / Steigung über Zeitraum</h3>
 <p>Berechnung des Steigungsdreiecks durch:</p>
 <p><span class="math inline">\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}</span></p>
 <p><span class="math inline">tan(\alpha) = \frac{\Delta x}{\Delta y}</span> liefert die Steigung für einen Steigungswinkel <span class="math inline">\alpha</span>, <span class="math inline">atan(\frac{\Delta x}{\Delta y}) = \alpha</span> als Inverse den Steigungswinkel für eine Steigung.</p>
+<h2 id="differentialrechnung">Differentialrechnung</h2>
 <h3 id="momentane-änderungsrate">Momentane Änderungsrate</h3>
 <p>Setze nun <span class="math inline">x_1 = x</span> und <span class="math inline">x_2 = x_1 + h = x + h</span>:</p>
 <p><span class="math inline">\frac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</span></p>
 <p><span class="math inline">h</span> gehe gegen <span class="math inline">0</span>, sodass man unendlich kleine Steigungsdreiecke erhält. Die berechnete Steigung nähert sich immer weiter einer <em>momentanen</em> Änderungsrate <em>für die Stelle <span class="math inline">x_1</span></em> an. Als Grenzwert:</p>
 <p><span class="math inline">lim_{x \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</span></p>
-<h3 id="monotonieverhalten">Monotonieverhalten</h3>
-<p>Zwischen zwei Extremstellen ist eine Fkt. immer monoton steigend/fallend.</p>
 <h3 id="ableitungen-1">Ableitungen</h3>
 <p>Die Ableitung einer Funktion <span class="math inline">f(x)</span> heißt <span class="math inline">f&#39;(x)</span> und liefert die momentane Änderungsrate. Es gilt also:</p>
 <p><span class="math inline">f&#39;(x) = lim_{x \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</span>.</p>
@@ -174,8 +169,10 @@
 <p><span class="math inline">f(x) = g(h(x))</span>, dann ist <span class="math inline">f&#39;(x) = h&#39;(x) \cdot g&#39;(h(x))</span></p>
 <p>Spezialfall: <span class="math inline">e</span>-Funktion mit Faktor im Exponenten: <span class="math inline">f(x) = e^{nx}</span> wird nach der Kettenregel zu <span class="math inline">ne^{nx}</span></p>
 <h4 id="spezielle-ableitungen">Spezielle Ableitungen</h4>
-<p>Siehe Formelsammlung.</p>
-<p><span class="math inline">a^x</span> lässt sich als <span class="math inline">c \cdot e^x</span> schreiben und mit <span class="math inline">e&#39;(x) = e(x)</span> bequem ableiten.</p>
+<p><del>Siehe Formelsammlung.</del></p>
+<p><span class="math inline">e^x</span> ändert sich bei Ableitung nicht; bei <span class="math inline">e^{ax}</span> ist abgeleitet gemäß Kettenregel <span class="math inline">ae^{ax}</span>.</p>
+<p><span class="math inline">ln(x)</span> ist abgeleitet <span class="math inline">1/x</span>.</p>
+<p><span class="math inline">a^x</span> lässt sich als <span class="math inline">c \cdot e^x</span> schreiben und mit <span class="math inline">e&#39;(x) = e(x)</span> bequem ableiten:</p>
 <p>Mit <span class="math inline">a^x</span> = <span class="math inline">e^{ln(x)}</span> ergibt sich <span class="math inline">a^x = (e^{ln(x)})^x = e^{ln(x)x}</span>.</p>
 <h4 id="zusammenfassung">Zusammenfassung</h4>
 <table>
@@ -195,13 +192,33 @@
 <td><span class="math inline">g&#39;(x) + h&#39;(x)</span></td>
 </tr>
 <tr class="odd">
+<td><span class="math inline">x^a</span></td>
+<td><span class="math inline">ax^{a-1}</span></td>
+</tr>
+<tr class="even">
 <td><span class="math inline">g(x) \cdot h(x)</span></td>
 <td><span class="math inline">g&#39;(x)h(x) + g(x)h&#39;(x)</span></td>
 </tr>
-<tr class="even">
+<tr class="odd">
 <td><span class="math inline">g(h(x))</span></td>
 <td><span class="math inline">h&#39;(x) \cdot g&#39;(h(x))</span></td>
 </tr>
+<tr class="even">
+<td><span class="math inline">e^x</span></td>
+<td><span class="math inline">e^x</span></td>
+</tr>
+<tr class="odd">
+<td><span class="math inline">ln(x)</span></td>
+<td><span class="math inline">1/x</span></td>
+</tr>
+<tr class="even">
+<td><span class="math inline">sin(x)</span></td>
+<td><span class="math inline">cos(x)</span></td>
+</tr>
+<tr class="odd">
+<td><span class="math inline">cos(x)</span></td>
+<td><span class="math inline">-sin(x)</span></td>
+</tr>
 </tbody>
 </table>
 <h3 id="kurvendiskussion">Kurvendiskussion</h3>
@@ -210,6 +227,7 @@
 <p>Da wir hier von stetigen Funktionen ausgehen, können die Steigung unmittelbar vor- und nach der Extremstelle betrachtet werden, um eine Aussage über die Art treffen zu können:</p>
 <p>Bei Maxima wechselt eine vorher positive Steigung zu einer negativen - bei Minima ist dies genau umgekehrt; bei Sattelpunkten dahingegen wechselt das Vorzeichen der Steigung nicht.</p>
 <p>Dies lässt sich als Tabelle der Vorzeichen der Werte der Ableitung eintragen. Hierzu werden zwischen den Nullstellen freie Spalten gelassen, für die beliebige Werte zwischen den beiden Nullstellen in die erste Ableitung eingesetzt werden können; dann werden die Vorzeichen eingetragen. An den beiden Rändern kommen zwei weitere Spalten. Als Hilfestellung kann man sich noch das Steigungsverhalten von f dazuschreiben:</p>
+<h4 id="beispiel">Beispiel</h4>
 <table>
 <thead>
 <tr class="header">
@@ -225,7 +243,7 @@
 </thead>
 <tbody>
 <tr class="odd">
-<td style="text-align: left;">Vorzeichen f’(x)</td>
+<td style="text-align: left;">Vorzeichen <span class="math inline">f&#39;(x)</span></td>
 <td style="text-align: center;"><span class="math inline">+</span></td>
 <td style="text-align: center;"><span class="math inline">0</span></td>
 <td style="text-align: center;"><span class="math inline">-</span></td>
@@ -235,7 +253,7 @@
 <td style="text-align: center;"><span class="math inline">+</span></td>
 </tr>
 <tr class="even">
-<td style="text-align: left;">Aussehen/Verhalten f(x)</td>
+<td style="text-align: left;">Aussehen/Verhalten <span class="math inline">f(x)</span></td>
 <td style="text-align: center;"><code>/</code></td>
 <td style="text-align: center;"><code>°</code></td>
 <td style="text-align: center;"><code>\</code></td>
@@ -247,9 +265,9 @@
 </tbody>
 </table>
 <p>Die <span class="math inline">-1000</span>, <span class="math inline">0</span> und <span class="math inline">20</span> (alle Werte zwischen den Nullstellen) sind dabei willkürlich aus dem Bereich gewählt.</p>
-<p>Wir schließen:</p>
+<p>Schlussfolgerung:</p>
 <ul>
-<li>Im Negativen gegen <span class="math inline">-\infty</span></li>
+<li>Die Fkt. geht im Negativen gegen <span class="math inline">-\infty</span></li>
 <li>Maximum bei x=-10 (VZW <span class="math inline">+ \rarr -</span>)</li>
 <li>Sattelpunkt bei x=10 (gleiches VZ)</li>
 <li>Minimum bei x=100 (VZW <span class="math inline">- \rarr +</span>)</li>
@@ -267,12 +285,14 @@
 <li>In lokalen Maxima ist die Funktion <em>linksgekrümmt</em> (?) mit negativem Vorzeichen der 2. Ableitung: Die Steigung ist anfangs positiv und wird dann immer negativer, erreicht im Maximum die 0 und geht nachher negativ weiter.</li>
 <li>Exakt umgekehrt im lokalen Minimum: Dort ist die Funktion <em>rechtsgekrümmt</em> mit positivem Vorzeichen der 2. Ableitung</li>
 </ul>
-<p>Dazu Herr Langenbruch’s Merkhilfe für die “umgekehrte” Zuordnung positiv - Minimum, negativ - Maximum:</p>
+<p>Dazu die Merkhilfe für die “umgekehrte” Zuordnung positiv - Minimum, negativ - Maximum:</p>
 <blockquote>
 <p>Negative 2. Ableitung ⇒ Trauriger Smiley ☹️ ⇒ Maximum<br />
 Positive 2. Ableitung ⇒ Glücklicher Smiley 🙂️ ⇒ Minimum</p>
 </blockquote>
 <p>Dies muss analog mit der dritten Ableitung für Minima und Maxima als Wendepunkte geschehen.</p>
+<h3 id="monotonieverhalten">Monotonieverhalten</h3>
+<p>Zwischen zwei Extremstellen ist eine Fkt. immer monoton steigend/fallend.</p>
 <h3 id="globales-maximum-minimum">Globales Maximum / Minimum</h3>
 <p>Immer Maximum / Minimum aller lok. Maxima bzw. Minimum mit evtl. Randwerten bzw. Verhalten im Unendlichen.</p>
 <h3 id="ortskurve-der-extrempunkte">Ortskurve der Extrempunkte</h3>
@@ -281,23 +301,28 @@ Positive 2. Ableitung ⇒ Glücklicher Smiley 🙂️ ⇒ Minimum</p>
 <h2 id="asymptote-von-e-fkt.">Asymptote von E-Fkt.</h2>
 <p>Additiver Restterm wenn E-Fkt gegen 0 geht (negativer Exponent), ansonsten gegen Unendlich</p>
 <h3 id="integrieren">Integrieren</h3>
-<p>Prinzipiell können alle Ableitungsregeln “rückwärts” angewandt werden. Insbesondere bei der Potenzregel ist dies noch intuitiv. Produkt- und Kettenregeln sind allerdings komplizierter:</p>
+<p>Prinzipiell können alle Ableitungsregeln “rückwärts” angewandt werden. Insbesondere bei der Potenzregel ist dies noch intuitiv. Produkt- und Kettenregeln sind allerdings komplizierter und müssen teils mehrfach hintereinander angewendet werden.</p>
 <h4 id="partielle-integration">Partielle Integration</h4>
-<p>Auch “Produktintegration” genannt; Produktregel rückwärts. Herleitung:</p>
-<p>So wählen, dass abgeleitete Fkt. <span class="math inline">u(x)</span> einfacher wird und zumindest aufgeleitete Fkt. nicht schwieriger (es sei denn, übers Produkt wird’s wieder einfacher, bspw. falls <span class="math inline">u(x) = ln(x)</span>)</p>
-<p><span class="math inline">\int u(x)v&#39;(x) = u(x)v(x) \int v(x)u&#39;(x)</span></p>
+<p>Auch “Produktintegration” genannt; Produktregel “rückwärts”. Herleitung:</p>
+<p><span class="math inline">F(x) = u(x)v(x) \Rarr F&#39;(x) = f(x) = u&#39;(x)v(x) + u(x)v&#39;(x)</span> nach Produktregel</p>
+<p><span class="math inline">\int{F&#39;(x)}dx = \int{f(x)}dx = F(x)</span> <span class="math inline">\int{u&#39;(x)v(x) + u(x)v&#39;(x)}dx = u(x)v(x)</span> <span class="math inline">\int{u&#39;(x)v(x)}dx + \int{u(x)v&#39;(x)}dx = u(x)v(x)</span> <strong>Partielle Integration:</strong> <span class="math inline">\int{u(x)v&#39;(x)}dx = u(x)v(x) - \int{u&#39;(x)v(x)}dx</span></p>
+<p><span class="math inline">u(x)</span> und <span class="math inline">v&#39;(x)</span> so wählen, dass die abzuleitende Fkt. <span class="math inline">u(x)</span> einfacher wird und zumindest die aufzuleitende Fkt. <span class="math inline">v&#39;(x)</span> nicht schwieriger wird (Ausnahme: Das aufzuleitende Produkt <span class="math inline">u&#39;(x)v(x)</span> wird einfacher, indem sich mit <span class="math inline">u(x) = ln(x)</span> und <span class="math inline">v&#39;(x) = x</span> bspw. ein <span class="math inline">x</span> kürzt)</p>
+<p>Polynome oder Logarithmen ableiten, bei trig. Fkt. meist trig. Fkt. aufleiten.</p>
+<p>Bei E-Funktionen: Immer <span class="math inline">e^x</span> als aufzuleitende Fkt. <span class="math inline">v&#39;(x)</span> wählen, da E-Fkt. meist trivial aufzuleiten sind (und ein polynomieller Vorfaktor trivial abzuleiten ist).</p>
 <h4 id="integration-durch-substitution">Integration durch Substitution</h4>
-<p>Kettenregel rückwärts</p>
+<p>Kettenregel “rückwärts”.</p>
 <p>Innere Funktion so wählen, dass Ableitung Faktor ist</p>
-<p><span class="math inline">\int u(v(x))v&#39;(x) = (\int u)(\int v(x))</span></p>
+<p><span class="math inline">\int{u(v(x))v&#39;(x)}dx = u(v(x))</span></p>
+<!-- TODO Herleitung -->
 <h3 id="integrale-über-bereich">Integrale über Bereich</h3>
 <h4 id="rotationskörper">Rotationskörper</h4>
 <p>Formel für die Kreisfläche ist <span class="math inline">\pi r^2</span>. Liefer nun eine Funktion <span class="math inline">f(x)</span> den Radius <span class="math inline">r</span> an der Stelle <span class="math inline">x</span>, so lässt sich über Integration bequem das Volumen des Rotationskörpers bestimmen:</p>
 <p><span class="math inline">V = \int_a^b \pi f(x)^2</span></p>
 <h3 id="hauptsatz-der-differential--und-integralrechnung">Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</h3>
+<!-- TODO Herleitung -->
 <ol type="1">
-<li><p>Integral über Intervall/Bereich als Differenz der Stammfunktion von den Intervallgrenzen: <span class="math inline">\int_a^b f(x) = F(b) - F(a)</span></p></li>
-<li><p>Die Ableitung der Stammfunktion ist die Fkt.</p></li>
+<li><p>Die Stammfunktion <span class="math inline">F(x)</span> ist definiert als Funktion, die abgeleitet <span class="math inline">f(x)</span> ist. Demnach gibt es unendlich viele Stammfunktionen <span class="math inline">F(x) + c</span> mit <span class="math inline">c</span> reell, die alle abgeleitet <span class="math inline">f(x)</span> ergeben.</p></li>
+<li><p>Das Integral über ein Intervall / einen Bereich einer Funktion lässt sich als Differenz der Werte der Stammfunktion bei den Intervallgrenzen berechnen: <span class="math inline">\int_a^b f(x) = F(b) - F(a)</span>.</p></li>
 </ol>
 <h1 id="hilfsmittel">Hilfsmittel</h1>
 <h2 id="formelsammlung">Formelsammlung</h2>
@@ -314,14 +339,14 @@ Positive 2. Ableitung ⇒ Glücklicher Smiley 🙂️ ⇒ Minimum</p>
 <li>S. 60: <strong>Anwendung Integration</strong>: Flächeninhaltsberechnung, Rotationskörper</li>
 <li>S. 61: <strong>Wachstum</strong></li>
 </ul>
-<p>Irrelevant sind also:</p>
+<p>Irrelevant sind hiervon also:</p>
 <ul>
 <li>S. 52 (Folgen und Reihen)</li>
 <li>S. 55 (Näherungsverfahren zur Berechnung von NST: Wird vom GTR verwendet)</li>
 <li>S. 57 (Horner-Schema; Polynomdivision)</li>
 <li>S. 62 (Wachstumsprozesse, Wachstum</li>
 </ul>
-<p>Eventuell können sich auch Seiten außerhalb des Analysis-Kapitels als nützlich erweisen (bspw. grundlegende Umformungsregeln oder die festgelegte Notation).</p>
+<p>Eventuell können sich auch Seiten außerhalb des Analysis-Kapitels als nützlich erweisen (bspw. Notationen, grundlegende Termumformungsregeln, Rechenregeln für trig. &amp; exp. Fkt., Potenzgesetze, Logarithmengesetze usw.).</p>
 <!-- TODO -->
 <h2 id="grafikfähiger-taschenrechner-gtr">Grafikfähiger Taschenrechner (GTR)</h2>
 <p>Unter Menu &gt; Analysis (4):</p>
@@ -338,19 +363,5 @@ Positive 2. Ableitung ⇒ Glücklicher Smiley 🙂️ ⇒ Minimum</p>
 </ul>
 <h2 id="wörterbuch-zur-deutschen-rechtschreibung">Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung</h2>
 <p>In 99% der Fälle nutzlos.</p>
-<!--
-# Appendix
-
-p-q-Formel in Lua:
-
-```lua
-function pqf(p, q)
-    local d = (p/2)^2 - q
-    if d == 0 then return -p/2 end
-    if d < 0 then return end
-    if d > 0 then return -p/2 - math.sqrt(d), -p/2 + math.sqrt(d) end
-end
-```
--->
 </body>
 </html>