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<title>Analysis</title>
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<header id="title-block-header">
<h1 class="title">Analysis</h1>
</header>
<h2 id="notation">Notation</h2>
<ul>
<li>Intervalle:
<ul>
<li>Runde Klammern für exklusive, eckige Klammern für inklusive Intervallgrenzen</li>
<li>Offen: <span class="math inline">(-1, 1)</span> - alle Zahlen von <span class="math inline">-1</span> bis <span class="math inline">1</span>, Intervallgrenzen exklusive</li>
<li>Halboffen: <span class="math inline">(-1, 1]</span> oder <span class="math inline">[-1, 1)</span></li>
<li>Geschlossen: <span class="math inline">[-1, 1]</span> - beide Intervallgrenzen sind enthalten</li>
</ul></li>
</ul>
<p>Bei Intervallen mit Unendlichkeiten müssen auf Seiten der Unendlichkeit immer runde Klammern verwendet werden, da unendlich ja kein erreichbarer Wert ist:</p>
<p><span class="math inline">(-\infty, +\infty)</span>, <span class="math inline">(-\infty, b]</span>, <span class="math inline">[a, +\infty)</span></p>
<h2 id="terminologie">Terminologie</h2>
<p>Stelle: X-Wert</p>
<p>Punkt: Paar (X, Y)</p>
<h2 id="funktionen">Funktionen</h2>
<h3 id="definitionen">Definitionen</h3>
<ul>
<li>Definitionsbereich: Intervall von <span class="math inline">x</span>-Werten, für die der Funktionswert <span class="math inline">f(x)</span> definiert ist</li>
<li>Wertebereich: Bereich aller Werte <span class="math inline">y = f(x)</span>, die die Funktion annehmen kann</li>
<li>Polynome:</li>
</ul>
<p>Die in der Schule behandelten Funktionen bilden immer von Intervallen der reellen Zahlen als Definitionsbereiche auf Wertebereiche ab. Teilweise sind auch einzige Werte ausgenommen.</p>
<h4 id="beispiele">Beispiele</h4>
<ul>
<li><span class="math inline">x^2</span>: Wertebereich sind die nicht-negativen reellen Zahlen, d.h. <span class="math inline">[0, +\infty)</span></li>
</ul>
<h3 id="transformationen">Transformationen</h3>
<ul>
<li>Verschiebung um <span class="math inline">d</span>:
<ul>
<li>X-Richtung: <span class="math inline">g(x) = f(x - d)</span> (nach “rechts”).</li>
<li>Y-Richtung: <span class="math inline">g(x) = f(x) + d</span> (nach “oben”)</li>
</ul></li>
<li>Skalierung um Faktor <span class="math inline">a</span>:
<ul>
<li>X-Richtung: <span class="math inline">g(x) = f(a \cdot x)</span></li>
<li>Y-Richtung: <span class="math inline">g(x) = a \cdot f(x)</span></li>
</ul></li>
</ul>
<p><strong>Wichtig:</strong> Verschiebung und Skalierung in X-Richtung verhält sich immer genau entgegengesetzt der “intuitiven Erwartung”:</p>
<ul>
<li>Verschiebung: Minus statt Plus für Verschiebung nach rechts
<ul>
<li><span class="math inline">x-d</span> statt <span class="math inline">x+d</span>, da bei letzterem die Funktion ja schon <span class="math inline">d</span> Einheiten <em>früher</em> den Wert erreichen würde - wir wollen aber, dass der Wert <em>später</em> erst erreicht wird.</li>
</ul></li>
<li>Skalierung: <span class="math inline">a &lt; 1</span> streckt, <span class="math inline">a &gt; 1</span> staucht</li>
</ul>
<h3 id="symmetrie">Symmetrie</h3>
<p>Funktionen sind immer <em>entweder</em> achsen- oder punktsymmetrisch. Einzige Ausnahme ist hierbei <span class="math inline">f(x) = 0</span>.</p>
<h4 id="achsensymmetrie">Achsensymmetrie</h4>
<p>Achsensymmetrie zur y-Achse:</p>
<p><span class="math inline">f(x) = f(-x)</span>.</p>
<p>Ist nach Punktsymmetrie zu einer Gerade mit <span class="math inline">x = a</span> gefragt, so muss die Funktion um <span class="math inline">a</span> verschoben werden, sodass der Ursprung der Ausgangsfunktion an Stelle <span class="math inline">a</span> liegt:</p>
<p><span class="math inline">g(x) = f(x - a)</span> und danach <span class="math inline">g(x) = g(-x) \lrArr f(x - a) = f(-(x - a)) \lrArr f(x - a) = f(a - x)</span></p>
<p>Polynome mit geraden Exponenten (inklusive der <span class="math inline">0</span> und negativer Exponenten) sind immer achsensymmetrisch. Beispiele:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">f(x) = 42</span></li>
<li><span class="math inline">f(x) = 42 + 3x^2</span></li>
<li><span class="math inline">f(x) = 33x^{100} + x^{1000000}</span></li>
<li><span class="math inline">f(x) = x^3 - x^3 + x^8 = x^8</span></li>
</ul>
<p>Polynome mit ungeraden Exponenten (inklusive der <span class="math inline">1</span> und negativer Exponenten) können nicht achsensymmetrisch sein. Beispiele:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">f(x) = \frac{1}{2}x</span></li>
<li><span class="math inline">f(x) = x^3 + x^{2000}</span></li>
<li><span class="math inline">f(x) = x^{99} + x^{100}</span></li>
</ul>
<h4 id="punktsymmetrie">Punktsymmetrie</h4>
<p>Punktsymmetrie zum Ursprung:</p>
<p><span class="math inline">-f(x) = f(-x)</span>.</p>
<p>Ist nach Punktsymmetrie zu einem Punkt <span class="math inline">P(p_x|p_y)</span> gefragt, so muss die Funktion in X- und Y-Richtung derart verschoben werden, dass der Ursprung in <span class="math inline">P</span> liegt:</p>
<p><span class="math inline">g(x) = f(x - p_x) + p_y</span> und weiter <span class="math inline">-g(x) = g(-x)</span></p>
<p>Polynome mit geraden Exponenten können nicht punktsymmetrisch sein; Polynome mit ungeraden Exponenten (inkl. negativer Exponenten) sind immer punktsymmetrisch.</p>
<h3 id="inverse">Inverse</h3>
<p>Für eine Inverse <span class="math inline">f^-1</span> zu <span class="math inline">f</span> gilt: Wenn <span class="math inline">f(x) = y</span>, dann ist <span class="math inline">f^-1(y) = x</span>. Somit heben sich <span class="math inline">f</span> und <span class="math inline">f^-1</span> auf: <span class="math inline">f(f^-1(x)) = x = f^-1(f(x))</span> (bspw.: auf positiven reellen Zahlen heben sich Wurzel &amp; Quadrat auf).</p>
<p>Synonym: Umkehrabbildung.</p>
<p>Inverse sind - insbesondere als Fkt. - nicht immer eindeutig/vollständig. Bsp. Wurzel (positiv/negativ) oder log als Inverse zur e-Fkt.</p>
<h3 id="nullstellen">Nullstellen</h3>
<ul>
<li>Lineare Funktionen: Trivial</li>
<li>Quadratische Funktionen: p-q-Formel</li>
<li><span class="math inline">ax^4 + bx^2 + c</span>: <span class="math inline">z = x^2</span> substituieren</li>
<li>Produkt ist 0, g.d.w. min. einer der Faktoren 0 ist
<ul>
<li>Bei Exponentialfkt. mit einer Basis != 0 (insbesondere <span class="math inline">e^x</span>)</li>
<li>Nullstellenform: <span class="math inline">(x - a)(x - b)(x - c)</span>, offensichtlich Nst. <span class="math inline">a, b, c</span></li>
</ul></li>
</ul>
<h3 id="grenzwerte-limes">Grenzwerte (Limes)</h3>
<h3 id="trigonometrische-funktionen">Trigonometrische Funktionen</h3>
<h4 id="ableitungen">Ableitungen</h4>
<ul>
<li><span class="math inline">cos&#39;(x) = -sin(x)</span></li>
<li><span class="math inline">sin&#39;(x) = cos(x)</span></li>
</ul>
<blockquote>
<p>Merkhilfe: “Ableitungskreis” <img src="data:image/png;base64,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" alt="Ableitungskreis" /></p>
</blockquote>
<p>Aufleitungen entsprechend “rückwärts”.</p>
<h4 id="inverse-1">Inverse</h4>
<p>Die Inversen zu den trigonometrischen Funktionen <span class="math inline">sin</span>, <span class="math inline">cos</span> und <span class="math inline">tan</span> heißen <span class="math inline">arcsin</span>, <span class="math inline">arccos</span> und <span class="math inline">arctan</span> (“arc” ist dabei kurz for “arcus”). Bei Taschenrechnern findet man meist als Notation für Inverse <span class="math inline">sin^{-1}</span>, <span class="math inline">cos^{-1}</span> und <span class="math inline">tan^{-1}</span>.</p>
<h3 id="änderungsrate-steigung-über-zeitraum">Änderungsrate / Steigung über Zeitraum</h3>
<p>Berechnung des Steigungsdreiecks durch:</p>
<p><span class="math inline">\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}</span></p>
<p><span class="math inline">tan(\alpha) = \frac{\Delta x}{\Delta y}</span> liefert die Steigung für einen Steigungswinkel <span class="math inline">\alpha</span>, <span class="math inline">atan(\frac{\Delta x}{\Delta y}) = \alpha</span> als Inverse den Steigungswinkel für eine Steigung.</p>
<h3 id="momentane-änderungsrate">Momentane Änderungsrate</h3>
<p>Setze nun <span class="math inline">x_1 = x</span> und <span class="math inline">x_2 = x_1 + h = x + h</span>:</p>
<p><span class="math inline">\frac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</span></p>
<p><span class="math inline">h</span> gehe gegen <span class="math inline">0</span>, sodass man unendlich kleine Steigungsdreiecke erhält. Die berechnete Steigung nähert sich immer weiter einer <em>momentanen</em> Änderungsrate <em>für die Stelle <span class="math inline">x_1</span></em> an. Als Grenzwert:</p>
<p><span class="math inline">lim_{x \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</span></p>
<h3 id="monotonieverhalten">Monotonieverhalten</h3>
<p>Zwischen zwei Extremstellen ist eine Fkt. immer monoton steigend/fallend.</p>
<h3 id="ableitungen-1">Ableitungen</h3>
<p>Die Ableitung einer Funktion <span class="math inline">f(x)</span> heißt <span class="math inline">f&#39;(x)</span> und liefert die momentane Änderungsrate. Es gilt also:</p>
<p><span class="math inline">f&#39;(x) = lim_{x \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</span>.</p>
<h3 id="ableitungsregeln">Ableitungsregeln</h3>
<h4 id="faktorregel">Faktorregel</h4>
<p>Konstante Vorfaktoren (alles, was keinen Parameter der Fkt. - also kein <span class="math inline">x</span> - enthält) bleiben unverändert:</p>
<p><span class="math inline">f(x) = a \cdot g(x)</span>, dann ist <span class="math inline">f&#39;(x) = a \cdot g&#39;(x)</span>.</p>
<h4 id="summenregel">Summenregel</h4>
<p>Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen:</p>
<p><span class="math inline">f(x) = g(x) + h(x)</span>, dann ist <span class="math inline">f&#39;(x) = g&#39;(x) + h&#39;(x)</span>.</p>
<h4 id="potenzregel">Potenzregel</h4>
<p>Konstante Potenzen werden um <span class="math inline">1</span> reduziert und kommen “herunter” (werden also zu Vorfaktoren):</p>
<p><span class="math inline">f(x) = x^n</span>, dann ist <span class="math inline">f&#39;(x) = (n-1)x^n</span>.</p>
<p>Zur Erinnerung:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">x^{-n} = \frac{1}{x^n}</span></li>
<li><span class="math inline">x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}</span></li>
<li>Und somit auch: <span class="math inline">x^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}}</span></li>
</ul>
<p>Über die Potenzregel ist es also möglich, <span class="math inline">n</span>-te Wurzeln, einfache Brüche und Brüche mit Wurzeln abzuleiten.</p>
<h4 id="polynome-ableiten">Polynome ableiten</h4>
<p>Faktorregel, Summenregel und Potenzregel reichen, um beliebige Polynome abzuleiten.</p>
<h4 id="produktregel">Produktregel</h4>
<p>Summe der beiden abgeleitet-unabgeleitet-Produkte:</p>
<p><span class="math inline">f(x) = g(x) \cdot h(x)</span>, dann ist <span class="math inline">f&#39;(x) = g&#39;(x)h(x) + g(x)h&#39;(x)</span></p>
<h4 id="kettenregel">Kettenregel</h4>
<p><span class="math inline">f(x) = g(h(x))</span>, dann ist <span class="math inline">f&#39;(x) = h&#39;(x) \cdot g&#39;(h(x))</span></p>
<p>Spezialfall: <span class="math inline">e</span>-Funktion mit Faktor im Exponenten: <span class="math inline">f(x) = e^{nx}</span> wird nach der Kettenregel zu <span class="math inline">ne^{nx}</span></p>
<h4 id="spezielle-ableitungen">Spezielle Ableitungen</h4>
<p>Siehe Formelsammlung.</p>
<p><span class="math inline">a^x</span> lässt sich als <span class="math inline">c \cdot e^x</span> schreiben und mit <span class="math inline">e&#39;(x) = e(x)</span> bequem ableiten.</p>
<p>Mit <span class="math inline">a^x</span> = <span class="math inline">e^{ln(x)}</span> ergibt sich <span class="math inline">a^x = (e^{ln(x)})^x = e^{ln(x)x}</span>.</p>
<h4 id="zusammenfassung">Zusammenfassung</h4>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th><span class="math inline">f(x)</span></th>
<th><span class="math inline">f&#39;(x)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">f(x) = a \cdot g(x)</span></td>
<td><span class="math inline">f&#39;(x) = a \cdot g&#39;(x)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">f(x) = g(x) + h(x)</span></td>
<td><span class="math inline">f&#39;(x) = g&#39;(x) + h&#39;(x)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<h3 id="kurvendiskussion">Kurvendiskussion</h3>
<p>Als erstes wird die Funktion abgeleitet, um Aussagen über das Steigungsverhalten treffen zu können.</p>
<p>An Extremstellen (lokalen Minima, Maxima, oder Sattelpunkten) nimmt die momentane Änderungsrate den Wert 0 an. Demnach sind die Extremstellen die Nullstellen der ersten Ableitung.</p>
<p>Da wir hier von stetigen Funktionen ausgehen, können die Steigung unmittelbar vor- und nach der Extremstelle betrachtet werden, um eine Aussage über die Art treffen zu können:</p>
<p>Bei Maxima wechselt eine vorher positive Steigung zu einer negativen - bei Minima ist dies genau umgekehrt; bei Sattelpunkten dahingegen wechselt das Vorzeichen der Steigung nicht.</p>
<p>Dies lässt sich als Tabelle der Vorzeichen der Werte der Ableitung eintragen. Hierzu werden zwischen den Nullstellen freie Spalten gelassen, für die beliebige Werte zwischen den beiden Nullstellen in die erste Ableitung eingesetzt werden können; dann werden die Vorzeichen eingetragen. An den beiden Rändern kommen zwei weitere Spalten. Als Hilfestellung kann man sich noch das Steigungsverhalten von f dazuschreiben:</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: left;">x</th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">-1000</span></th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">-10</span></th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">0</span></th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">10</span></th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">20</span></th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">100</span></th>
<th style="text-align: center;"><span class="math inline">1000</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: left;">Vorzeichen f’(x)</td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">+</span></td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">0</span></td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">-</span></td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">0</span></td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">-</span></td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">0</span></td>
<td style="text-align: center;"><span class="math inline">+</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: left;">Aussehen/Verhalten f(x)</td>
<td style="text-align: center;"><code>/</code></td>
<td style="text-align: center;"><code>°</code></td>
<td style="text-align: center;"><code>\</code></td>
<td style="text-align: center;"><code>.</code></td>
<td style="text-align: center;"><code>\</code></td>
<td style="text-align: center;"><code>.</code></td>
<td style="text-align: center;"><code>/</code></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Die <span class="math inline">-1000</span>, <span class="math inline">0</span> und <span class="math inline">20</span> (alle Werte zwischen den Nullstellen) sind dabei willkürlich aus dem Bereich gewählt.</p>
<p>Wir schließen:</p>
<ul>
<li>Im Negativen gegen <span class="math inline">-\infty</span></li>
<li>Maximum bei x=-10 (VZW <span class="math inline">+ \rarr -</span>)</li>
<li>Sattelpunkt bei x=10 (gleiches VZ)</li>
<li>Minimum bei x=100 (VZW <span class="math inline">- \rarr +</span>)</li>
<li>Im Positiven gegen <span class="math inline">+\infty</span></li>
</ul>
<p>Bildet man nun die <strong>zweite Ableitung</strong>, so kann man Aussagen über die Extremstellen der <strong>ersten Ableitung fällen</strong> und somit das <strong>Krümmungsverhalten</strong> - die Änderung der Änderung:</p>
<p>Analogie aus der Physik: der Ort sei die Funktion <span class="math inline">s(t)</span>. Dann ist die Geschwindigkeit <span class="math inline">v(t)</span> als Änderung des Ortes die erste Ableitung und die Beschleunigung <span class="math inline">a(t)</span> als Änderung der Geschwindigkeit die erste Ableitung von <span class="math inline">v(t)</span> und die zweite Ableitung der ursprünglichen Ortsfunktion <span class="math inline">s(t)</span>: <span class="math inline">v(t) = s&#39;(t); a(t) = v&#39;(t) = s&#39;&#39;(t)</span></p>
<ul>
<li><strong>Minima</strong> der 1. Ableitung sind Wendepunkte mit lokal <strong>minimaler Steigung</strong>;</li>
<li><strong>Maxima</strong> sind analog Wendepunkte mit lokal <strong>maximaler Steigung</strong>;</li>
<li><strong>Sattelpunkte</strong> der 1. Ableitung sind keine Wendepunkte</li>
</ul>
<p>Minima &amp; Maxima der ursprünglichen Funktion können nach der Bestimmung des Krümmungsverhaltens als Vorzeichen der 2. Ableitung an der Stelle von Sattelpunkten (mit 2. Ableitung = 0) unterschieden werden:</p>
<ul>
<li>In lokalen Maxima ist die Funktion <em>linksgekrümmt</em> (?) mit negativem Vorzeichen der 2. Ableitung: Die Steigung ist anfangs positiv und wird dann immer negativer, erreicht im Maximum die 0 und geht nachher negativ weiter.</li>
<li>Exakt umgekehrt im lokalen Minimum: Dort ist die Funktion <em>rechtsgekrümmt</em> mit positivem Vorzeichen der 2. Ableitung</li>
</ul>
<p>Dazu Herr Langenbruch’s Merkhilfe für die “umgekehrte” Zuordnung positiv - Minimum, negativ - Maximum:</p>
<blockquote>
<p>Negative 2. Ableitung ⇒ Trauriger Smiley ☹️ ⇒ Maximum<br />
Positive 2. Ableitung ⇒ Glücklicher Smiley 🙂️ ⇒ Minimum</p>
</blockquote>
<p>Dies muss analog mit der dritten Ableitung für Minima und Maxima als Wendepunkte geschehen.</p>
<h3 id="globales-maximum-minimum">Globales Maximum / Minimum</h3>
<p>Immer Maximum / Minimum aller lok. Maxima bzw. Minimum mit evtl. Randwerten bzw. Verhalten im Unendlichen.</p>
<h3 id="ortskurve-der-extrempunkte">Ortskurve der Extrempunkte</h3>
<p>Gegeben: Funktionenschar <span class="math inline">f_k</span> mit Extrempunkten <span class="math inline">(x, y)</span> mit <span class="math inline">x</span> abhängig von Parameter <span class="math inline">k</span>.</p>
<p>Einfach nach <span class="math inline">k</span> die erste Gleichung auflösen (<span class="math inline">k</span> in Abhängigkeiten von <span class="math inline">x</span>) und in <span class="math inline">y</span> einsetzen.</p>
<h2 id="asymptote-von-e-fkt.">Asymptote von E-Fkt.</h2>
<p>Additiver Restterm wenn E-Fkt gegen 0 geht (negativer Exponent), ansonsten gegen Unendlich</p>
<h3 id="integrieren">Integrieren</h3>
<p>Prinzipiell können alle Ableitungsregeln “rückwärts” angewandt werden. Insbesondere bei der Potenzregel ist dies noch intuitiv. Produkt- und Kettenregeln sind allerdings komplizierter:</p>
<h4 id="partielle-integration">Partielle Integration</h4>
<p>Auch “Produktintegration” genannt; Produktregel rückwärts. Herleitung:</p>
<p>So wählen, dass abgeleitete Fkt. einfacher wird und zumindest aufgeleitete Fkt. nicht schwieriger (es sei denn, übers Produkt wird’s wieder einfacher)</p>
<h4 id="integration-durch-substitution">Integration durch Substitution</h4>
<p>Kettenregel rückwärts</p>
<p>Innere Funktion so wählen, dass Ableitung Faktor ist</p>
<h3 id="integrale-über-bereich">Integrale über Bereich</h3>
<h4 id="rotationskörper">Rotationskörper</h4>
<p>Formel für die Kreisfläche ist <span class="math inline">\pi r^2</span>. Liefer nun eine Funktion <span class="math inline">f(x)</span> den Radius <span class="math inline">r</span> an der Stelle <span class="math inline">x</span>, so lässt sich über Integration bequem das Volumen des Rotationskörpers bestimmen:</p>
<p><span class="math inline">V = \int_a^b \pi f(x)^2</span></p>
<h3 id="hauptsatz-der-differential--und-integralrechnung">Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</h3>
<ol type="1">
<li><p>Integral über Intervall/Bereich als Differenz der Stammfunktion von den Intervallgrenzen: <span class="math inline">\int_a^b f(x) = F(b) - F(a)</span></p></li>
<li><p>Die Ableitung der Stammfunktion ist die Fkt.</p></li>
</ol>
<h1 id="hilfsmittel">Hilfsmittel</h1>
<h2 id="formelsammlung">Formelsammlung</h2>
<ul>
<li>S. 20: Gleichungen und Fkt.</li>
</ul>
<p>Die Analysis findet sich auf S. 52 - 61. Dennoch müssen die Verfahren - allein wegen des hilfsmittelfreien Teils und zur Geschwindigkeitsmaximierung - auswendig gekonnt werden. Davon relevant:</p>
<ul>
<li>S. 53: Grenzwerte &amp; Stetigkeit</li>
<li>S. 54: <strong>Ableitungen</strong>, sowohl zugrundeliegende Def. als auch Ableitungsregeln</li>
<li>S. 55: <strong>Ableitung spezieller Funktionen</strong></li>
<li>S. 56: <strong>Schrittfolge einer Kurvendiskussion</strong></li>
<li>S. 58, 59: <strong>Integralrechnung</strong></li>
<li>S. 60: <strong>Anwendung Integration</strong>: Flächeninhaltsberechnung, Rotationskörper</li>
<li>S. 61: <strong>Wachstum</strong></li>
</ul>
<p>Irrelevant sind also:</p>
<ul>
<li>S. 52 (Folgen und Reihen)</li>
<li>S. 55 (Näherungsverfahren zur Berechnung von NST: Wird vom GTR verwendet)</li>
<li>S. 57 (Horner-Schema; Polynomdivision)</li>
<li>S. 62 (Wachstumsprozesse, Wachstum</li>
</ul>
<p>Eventuell können sich auch Seiten außerhalb des Analysis-Kapitels als nützlich erweisen (bspw. grundlegende Umformungsregeln oder die festgelegte Notation).</p>
<!-- TODO -->
<h2 id="grafikfähiger-taschenrechner-gtr">Grafikfähiger Taschenrechner (GTR)</h2>
<!-- TODO -->
<ul>
<li><code>nfMin</code></li>
</ul>
<h2 id="wörterbuch-zur-deutschen-rechtschreibung">Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung</h2>
<p>In 99% der Fälle nutzlos.</p>
<h1 id="appendix">Appendix</h1>
<p>p-q-Formel in Lua:</p>
<div class="sourceCode" id="cb1"><pre class="sourceCode lua"><code class="sourceCode lua"><a class="sourceLine" id="cb1-1" title="1"><span class="kw">function</span> pqf<span class="op">(</span>p<span class="op">,</span> q<span class="op">)</span></a>
<a class="sourceLine" id="cb1-2" title="2"> <span class="kw">local</span> d <span class="op">=</span> <span class="op">(</span>p<span class="op">/</span><span class="dv">2</span><span class="op">)^</span><span class="dv">2</span> <span class="op">-</span> q</a>
<a class="sourceLine" id="cb1-3" title="3"> <span class="cf">if</span> d <span class="op">==</span> <span class="dv">0</span> <span class="cf">then</span> <span class="cf">return</span> <span class="op">-</span>p<span class="op">/</span><span class="dv">2</span> <span class="cf">end</span></a>
<a class="sourceLine" id="cb1-4" title="4"> <span class="cf">if</span> d <span class="op">&lt;</span> <span class="dv">0</span> <span class="cf">then</span> <span class="cf">return</span> <span class="cf">end</span></a>
<a class="sourceLine" id="cb1-5" title="5"> <span class="cf">if</span> d <span class="op">&gt;</span> <span class="dv">0</span> <span class="cf">then</span> <span class="cf">return</span> <span class="op">-</span>p<span class="op">/</span><span class="dv">2</span> <span class="op">-</span> <span class="fu">math.sqrt</span><span class="op">(</span>d<span class="op">),</span> <span class="op">-</span>p<span class="op">/</span><span class="dv">2</span> <span class="op">+</span> <span class="fu">math.sqrt</span><span class="op">(</span>d<span class="op">)</span> <span class="cf">end</span></a>
<a class="sourceLine" id="cb1-6" title="6"><span class="cf">end</span></a></code></pre></div>
</body>
</html>

160
mathe/abi/Stochastik.html Normal file
View File

@ -0,0 +1,160 @@
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<title>Statistik &amp; Stochastik</title>
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<header id="title-block-header">
<h1 class="title">Statistik &amp; Stochastik</h1>
</header>
<h2 id="definitionen">Definitionen</h2>
<ul>
<li>Klasse: Zusammenfassung mehrerer Ereignisse zu einer Klasse</li>
<li>Absolute Häufigkeit: Anzahl der Vorkomnisse eines Ereignisses</li>
<li>Relative Häufigkeit: Absolute Häufigkeit geteilt durch die insgesamte Anzahl der Ereignisse</li>
<li>Wahrscheinlichkeit: Idealwert der relativen Häufigkeit. Die relative Häufigkeit nähert sich mit steigender Ereignisanzahl immer weiter der Häufigkeit an (“Gesetz der großen Zahlen”).</li>
<li>Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeit geteilt durch Klassenbreite.</li>
</ul>
<p>Für eine Zufallsgröße <span class="math inline">X</span> mit den Werten <span class="math inline">x_1, x_2, x_n</span> sei definiert als Erwartungswert von <span class="math inline">X</span>:</p>
<p><span class="math inline">\mu = x_1P(X = x_1) + x_2P(X = x_2) + ... + x_nP(X = x_n)</span></p>
<p>und</p>
<p><span class="math inline">\sigma = \sqrt{(x_1 - \mu)^2P(X = x_1) + (x_2 - \mu)^2P(X = x_2) + ... + (x_n - \mu)^2P(X = x_n)}</span></p>
<p>als Standardabweichung</p>
<h3 id="fakultät">Fakultät</h3>
<p>Die Fakultät <span class="math inline">n! = \prod_{i=1}^n{i} = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n</span> einer Zahl gibt die Anzahl der möglichen Permutationen (verschiedenen Anordnungen) eines “Tupels” mit <span class="math inline">n</span> verschiedenen Elementen an. So ist bspw. <span class="math inline">3! = 6</span>, da jedes 3-er-Tupel (Tripel) <span class="math inline">(a, b, c)</span> 6 mögliche Reihenfolgen besitzt:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">(a, b, c)</span></li>
<li><span class="math inline">(a, c, b)</span></li>
<li><span class="math inline">(b, a, c)</span></li>
<li><span class="math inline">(b, c, a)</span></li>
<li><span class="math inline">(c, a, b)</span></li>
<li><span class="math inline">(c, b, a)</span></li>
</ul>
<p>Intuitiv ist die Begründung der Formel klar: Es gibt <span class="math inline">n</span> Möglichkeiten, das erste Element auszuwählen. Es bleiben dann <span class="math inline">n - 1</span> Möglichkeiten, das zweite Element auszuwählen. Beim vorletzten Element schließlich bleiben nur noch zwei Wahlmöglichkeiten, beim letzten gar nur noch eine, also <span class="math inline">n! = n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1</span>. Diese “Wahlmöglichkeiten” werden nun multipliziert. Nach dieser Intuition ist auch klar, warum die Fakultät häufig bei Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen zur Anwendung kommt.</p>
<h3 id="binomialkoeffizient">Binomialkoeffizient</h3>
<p>${nk} = <span class="math inline">\frac{n!}{k!(n-k)!}</span></p>
<p>Gesprochen “<span class="math inline">n</span> über <span class="math inline">k</span>” oder <strong>“wähle <span class="math inline">k</span> aus <span class="math inline">n</span>”</strong>.</p>
<p>Intuitiv: Gibt an, auf wieviele Arten <span class="math inline">k</span> Elemente in <span class="math inline">n</span> Elementen verteilt werden können, wenn die Reihenfolge der <span class="math inline">k</span> Elemente untereinander ebenso egal ist wie die der übrigen <span class="math inline">n-k</span> Elemente.</p>
<p>Im Baumdiagramm einer binomialverteilten Zufallsgröße mit zwei Ereignissen, Erfolg und Misserfolg: <span class="math inline">{n \choose k}</span> gibt die Anzahl der Pfade an, bei denen eines der beiden Ereignisse bei <span class="math inline">n</span>-facher Wiederholung genau <span class="math inline">k</span>-mal auftritt.</p>
<h3 id="baumdiagramm">Baumdiagramm</h3>
<p>Pfadregeln:</p>
<ul>
<li>Multiplizieren von Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades</li>
<li>Addieren von Wahrscheinlichkeiten auf der gleichen Ebene</li>
</ul>
<h2 id="bernoulli-experimente-binomialverteilung">Bernoulli-Experimente / Binomialverteilung</h2>
<p>Definition: Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen: “Erfolg” oder “Misserfolg”. Dabei gilt <span class="math inline">P(Erfolg) = p</span> und <span class="math inline">P(Misserfolg) = q</span> mit <span class="math inline">p + q = 1</span>.</p>
<p>Wird ein Bernoulli-Experiment <span class="math inline">n</span>-Mal durchgeführt und ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe nicht, so spricht man von einem <span class="math inline">n</span>-stufigen Bernoulli-Experiment (= Bernoulli-Kette).</p>
<p><span class="math inline">P(k Erfolge)</span> lässt sich als <span class="math inline">(n über k)p^kq^{n-k}</span> berechnen (entsprechend den Pfadregeln im Baumdiagramm: Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade mit genau <span class="math inline">k</span> Erfolgen sind gleich - nämlich <span class="math inline">p^kq^{n-k}</span>. Mithilfe des Binomialkoeffizienten bestimmt man die Anzahl dieser Pfade, mit der noch multipliziert wird).</p>
<ul>
<li>Erwartungswert: <span class="math inline">\mu = p \cdot n</span></li>
<li>Standardabweichung: <span class="math inline">\sigma = \sqrt{p \cdot q \cdot n}</span></li>
</ul>
<p>Bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten <span class="math inline">p</span> (bzw. <span class="math inline">q</span>) sowie <span class="math inline">k</span> lässt sich ein notwendiger “Stichprobenumfang” <span class="math inline">n</span> berechnen, damit ein gewisses Ereignis eine gewisse Wahrscheinlichkeit <span class="math inline">y</span> besitzt. Bsp.:</p>
<p><span class="math display">
P(x \geq 1) = y \\
1 - P(x = 0) = y \\
1 - q^n = y \\
q^n = 1 - y \\
n = log_q(1 - y)
</span></p>
<p>Der erhaltene Wert für den Stichprobenumfang <span class="math inline">n</span> muss <em>aufgerundet</em> werden, wenn mit der Wahrscheinlichkeit <span class="math inline">y</span> <em>mindestens</em> <span class="math inline">x</span> Erfolge erreicht werden sollen.</p>
<p><strong>Kumulierte Wahrscheinlichkeiten</strong>, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Erfolge in einem bestimmten Bereich liegt, können auf zwei Arten ausgerechnet werden:</p>
<ul>
<li>Falls möglich mit dem <a href="#gtr">GTR</a> und <code>binomcdf</code></li>
<li>Alternativ als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für genau <span class="math inline">k</span> Erfolge für alle <span class="math inline">k</span> aus dem Bereich</li>
<li>In einigen Sonderfällen lässt sich mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen, wenn der Gegenbereich wesentlich kleiner ist. Bsp.: Bis zu 9 Erfolge bei 10 Durchführungen =&gt; Gegenereignis: Genau 10 Erfolge =&gt; <span class="math inline">P(x \leq 9) = 1 - P(x = 10)</span> für <span class="math inline">x</span> Anzahl der Erfolge; <span class="math inline">P(x = 10)</span> lässt sich mit der bekannten Formel berechnen.</li>
</ul>
<h2 id="hypothesen">Hypothesen</h2>
<p>Hypothesen sollen mit hohem Signifikanzniveau <em>verworfen</em> werden, da dann eine extrem hohe Signifikanz besteht; entsprechend ist die Nullhypothese das Gegenteil der zu beweisenden Hypothese.</p>
<p><span class="math inline">H_0</span> Nullhypothese, <span class="math inline">H_1</span> Alternativhypothese</p>
<h2 id="hypothesentests">Hypothesentests</h2>
<ul>
<li>Fehler 1. Art: Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen</li>
<li>Fehler 2. Art: Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen</li>
</ul>
<h2 id="zweiseitiger-signifikanztest">Zweiseitiger Signifikanztest</h2>
<p>Def. signifikant, hochsignifikant</p>
<p>Verwerfungsbereich, Annahmebereich</p>
<h2 id="stetige-zufallsgrößen">Stetige Zufallsgrößen</h2>
<p>Können alle Werte in einem reellen Intervall angenommen werden, spricht man von einer stetigen Zufallgröße.</p>
<p>Eine <strong>Dichtefunktion</strong> - gibt ähnlich wie ein Histogramm - für einen Wert .</p>
<p>Für eine Dichtefunktion gilt:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">f(x) \geq 0 \forall x \in R</span> (Dichten müssen offensichtlich positiv sein - negative Dichten wären sinnlos) und</li>
<li><span class="math inline">\int_a^b f(x)dx</span> ist die Wahrscheinlichkeit für <span class="math inline">x \in [a, b]</span>; somit ist f(x)dx = 1$ (Gesamtwahrscheinlichkeit 1)</li>
</ul>
<h3 id="normalverteilung">Normalverteilung</h3>
<p>Stetige, normalverteilte Zufallsgrößen besitzen die “Gaußsche Glockenfunktion” <span class="math inline">\psi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}</span> als Dichtefunktion.</p>
<h4 id="moivre-laplace-näherungsformeln">Moivre-Laplace-Näherungsformeln</h4>
<p>Ist die <strong>Laplace-Bedingung</strong> <span class="math inline">\sigma &gt; 3</span> erfüllt, so gilt:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">P(x = k) \approx \psi_{\mu; \sigma}(k)</span></li>
<li><span class="math inline">P(a \leq x \leq b) \approx \int_a^b \psi_{\mu; \sigma}(x) dx</span></li>
</ul>
<h4 id="sigma-umgebungen">Sigma-Umgebungen</h4>
<p>Für normalverteilte Zufallsgrößen gilt (alle Wahrscheinlichkeiten bzw. <span class="math inline">\sigma</span>-Umgebungen nur ungefähr und nicht exakt):</p>
<div class="line-block"><span class="math inline">\sigma</span>-Umgebung | Wahrscheinlichkeit |</div>
<p>|===================|====================| |<span class="math inline">[\mu - \sigma; \mu + \sigma]</span>|<span class="math inline">68,3%</span>| |<span class="math inline">[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]</span>|<span class="math inline">95,5%</span>| |<span class="math inline">[\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]</span>|<span class="math inline">99,7%</span>|</p>
<div class="line-block">Wahrscheinlichkeit | <span class="math inline">\sigma</span>-Umgebung |</div>
<p>|===================|====================| |<span class="math inline">90%</span>|<span class="math inline">[\mu - 1,64\sigma; \mu + 1,64\sigma]</span>| |<span class="math inline">95%</span>|<span class="math inline">[\mu - 1,94\sigma; \mu + 1,94\sigma]</span>| |<span class="math inline">99%</span>|<span class="math inline">[\mu - 2,58\sigma; \mu + 2,58\sigma]</span>|</p>
<p>Aufgrund der <a href="#moivre-laplace-näherungsformeln">Moivre-Laplace-Näherungsformeln</a> lassen sich die Sigmaregeln - insofern die Laplace-Bedingung erfüllt ist - auch auf <strong>Binomialverteilungen</strong> anwenden.</p>
<p>Fürs Runden gilt: Symmetrie nicht beachten, mit GTR ab-und aufgerundete Intervallgrenzen ausprobieren; sind die Wahrscheinlichkeiten Mindestwerte, wird normalerweise betraglich <em>aufgerundet</em>.</p>
<h2 id="visualisierungen">Visualisierungen</h2>
<ul>
<li>Strich- und Balkendiagramme: Zeigen relative Häufigkeiten von Ereignissen oder Ereignisklassen.</li>
<li>Kreisdiagramme: Anteilige Darstellung relativer Häufigkeiten.</li>
<li>Histogramme: Für Intervalle als Ereignisklassen: Breite der Balken entspricht der Breite der Ereignisklasse; Fläche der Balken entspricht der Wahrscheinlichkeit bzw. relativen Häufigkeit, s.d. Histogramme - anders als Strich-, Balken- und Kreisdiagramme nicht optisch irreführend sind. Höhe der Balken ist somit nicht mehr die Wahrscheinlichkeit sondern die Wahrscheinlichkeitsdichte. Klassen müssen weiterhin intelligent gewählt werden; zu kleine Klassen scheitern daran, Häufungen als erhöhte Wahrscheinlichkeitsdichte zu zeigen (Extremfall: Minimale Klassen, genau zwei verschiedene Dichten) - zu große Klassen dahingegen bieten nicht genügend Granularität (Extremfall: Eine Klasse).</li>
</ul>
<h2 id="hilfsmittel">Hilfsmittel</h2>
<h3 id="formelsammlung">Formelsammlung</h3>
<p>Stochastik auf S. 36 - S. 51. Relevant davon sind:</p>
<ul>
<li>S. 36 zu <strong>Visualisierungen</strong></li>
<li>S. 37 zu <strong>Fakultät, Binomialkoeffizient etc.</strong></li>
<li>S. 38 mit weiteren <strong>Definitionen von Grundbegriffen</strong></li>
<li>S. 39: <strong>Standardabweichung</strong>, “Rechenregeln” für Baumdiagramme</li>
<li>S. 40: <strong>Wahrscheinlichkeitsrechnung</strong></li>
<li>S. 41: <strong>Wahrscheinlichkeitsverteilung</strong>, <strong>Binomialverteilung</strong></li>
<li>S. 42: <strong>Normalverteilung</strong>, Näherungsformel für Binomialverteilungen</li>
<li>S. 43: <strong>Testen von Hypothesen</strong></li>
</ul>
<p>Auf den übrigen Seiten 44 - 51 finden sich hauptsächlich durch den GTR obsolet gewordene Wertetabellen. Nur auf S. 50 findet sich noch etwas zur <strong>Standardnormalverteilung</strong> (allerdings weitestgehnd redundant mit S. 42).</p>
<p>Es ist davon auszugehen, dass im hilfsmittelfreien Teil keine äußerst rechenintensiven Normalverteilungen oder Sigma-Umgebungen vorkommen, durchaus aber die Berechnung von binomialverteilten Zufallsgrößen für kleine Werte oder die Angabe von Termen; einfach zu integrierende Dichtefunktionen sind ebenfalls denkbar.</p>
<h3 id="gtr">GTR</h3>
<ul>
<li><code>binompdf(n, p, x)</code>
<ul>
<li><code>n</code>: Anzahl Versuche</li>
<li><code>p</code>: Erfolgswahrscheinlichkeit</li>
<li><code>x</code>: Anzahl Erfolge</li>
</ul></li>
<li><code>binomcdf(n, p, min, max)</code>
<ul>
<li><code>n</code>: Anzahl Versuche</li>
<li><code>p</code>: Erfolgswahrscheinlichkeit</li>
<li><code>min</code>: Min. Anzahl Erfolge (inklusive)</li>
<li><code>max</code>: Max. Anzahl Erfolge (inklusive), <strong>optional</strong></li>
</ul></li>
<li><code>normpdf</code>: Wie <code>binompdf</code></li>
<li><code>normcdf</code>: Wie <code>binomcdf</code>; <code>min</code> &amp; <code>max</code> sind allerdings nicht mehr zwingend ganzzahlig</li>
</ul>
</body>
</html>

164
mathe/abi/Vektorgeometrie.html Normal file
View File

@ -0,0 +1,164 @@
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<title>Vektorielle Geometrie</title>
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<body>
<header id="title-block-header">
<h1 class="title">Vektorielle Geometrie</h1>
</header>
<!-- TODO Taschenrechner-Guide -->
<h3 id="schulnotation">Schulnotation</h3>
<p>Auf Schule:</p>
<ul>
<li>Richtungsvektoren mit einem Pfeil versehen und als Spaltenvektoren notieren</li>
<li>Punktvektoren mit Großbuchstaben bezeichnen (<span class="math inline">A, B, C, ...</span>) und als Zeilenvektoren notieren, wobei die Koordinaten von Schrägstrichen getrennt werden</li>
<li>Skalare mit Kleinbuchstaben (meist <span class="math inline">x</span>) und Index (<span class="math inline">x_1, x_2, x_3</span>)</li>
<li>Benannte “Formengleichungen” mit Doppelpunkt und Gleichung mit <span class="math inline">x</span>. Gleichungen müssen direkt eingesetzt werden, <span class="math inline">E = g</span> ist falsch.
<ul>
<li>Ebenen: <span class="math inline">E: x = ...</span></li>
<li>Geraden: <span class="math inline">g: x = ...</span></li>
</ul></li>
</ul>
<h4 id="terminologie">Terminologie</h4>
<p>Komponenten = Einträge.</p>
<h3 id="punkte">Punkte</h3>
<p>Einfach Vektoren. Werden häufig als Zeilenvektoren notiert: <span class="math inline">(x/y/z)</span>.</p>
<h3 id="richtungsvektoren">Richtungsvektoren</h3>
<p>Richtungsvektor von Punkt <span class="math inline">A</span> nach <span class="math inline">B</span>: <span class="math inline">A</span> von <span class="math inline">B</span> abziehen: <span class="math inline">\overline{AB} = B - A</span>.</p>
<h4 id="kolinearität">Kolinearität</h4>
<p>Zwei Richtungsvektoren <span class="math inline">a, b</span> sind genau dann kolinear zueinander, wenn die Gleichung <span class="math inline">xa = b</span> mit <span class="math inline">x</span> Skalar erfüllt ist (wenn also ein Vektor nur eine Skalierung des Anderen ist). Dann sind <span class="math inline">a</span> und <span class="math inline">b</span> auch parallel zueinander: <span class="math inline">a \parallel b</span>.</p>
<h3 id="vektoraddition">Vektoraddition</h3>
<p>Verschiebt einen Vektor um einen Anderen, indem jeweils die Komponenten addiert werden.</p>
<h3 id="skalare-multiplikation">Skalare Multiplikation</h3>
<p>Skaliert einen Vektor mit einem Skalar, indem jede Komponente mit dem Skalar multipliziert wird. Analog lässt sich ein Vektor auch durch einen Skalar teilen.</p>
<h3 id="länge">Länge</h3>
<p>Die Länge eines Vektors lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen: Alle Komponenten müssen quadriert werden und anschließend summiert werden. Schließlich muss die Wurzel gezogen werden: <span class="math inline">|(x, y, z)| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</span>.</p>
<h4 id="normieren">Normieren</h4>
<p>Man normiert einen Vektor, indem man ihn durch seine Länge teilt. Der resultierende Vektor hat immer Länge <span class="math inline">1</span> (Einzige Ausnahme: Der Nullvektor).</p>
<p><span class="math inline">a_n = \frac{a}{|a|}</span></p>
<h4 id="abstand">Abstand</h4>
<p>Der Abstand zweier (Punkt-)Vektoren ist einfach die Länge des Richtungsvektors: <span class="math inline">d = |B - A| = |A - B|</span>. Ob man <span class="math inline">A</span> von <span class="math inline">B</span> abzieht oder andersherum ist wegen der Quadrate bei der <a href="#länge">Länge</a>nbestimmung egal.</p>
<h3 id="punktprodukt">Punktprodukt</h3>
<p>Addition der Produkte der jeweiligen Komponenten. Ergebnis ist ein Skalar, weswegen das Punktprodukt auch als <em>Skalarprodukt</em> bekannt ist. Gleich dem Produkt der Längen mal dem Cosinus des Winkels <span class="math inline">\alpha</span> zwischen den Vektoren <span class="math inline">a, b</span>:</p>
<p><span class="math inline">a \cdot b = cos(\alpha)|a||b| = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</span></p>
<h4 id="orthogonalität">Orthogonalität</h4>
<p>Orthogonalität heißt, dass der Winkel zwischen den zwei Richtungsvektoren <span class="math inline">90°</span> beträgt. Dann ist der Cosinus und somit das Punktprodukt <span class="math inline">0</span>.</p>
<p><span class="math inline">a \perp b \lrArr a \cdot b = 0</span></p>
<h4 id="parallelität">Parallelität</h4>
<p>Bei Parallelität der Richtungsvektoren beträgt der Winkel <span class="math inline">0°</span>, der Cosinus nimmt einen Wert von <span class="math inline">1</span> and und somit ist das Punktprodukt das Produkt der Längen der beiden Vektoren.</p>
<p><span class="math inline">a \parallel b \lrArr a \cdot b = |a||b|</span>. Allerdings prüft man Parallelität am Besten über <a href="#kolinearität">Kolinearität</a>.</p>
<h4 id="winkelbestimmung">Winkelbestimmung</h4>
<p>Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren entspricht dem Punktprodukt geteilt durch die Länge der Vektoren</p>
<p><span class="math inline">\alpha = acos(\frac{a \cdot b}{|a||b|})</span></p>
<h3 id="kreuzprodukt">Kreuzprodukt</h3>
<p>Für <span class="math inline">a</span>, <span class="math inline">b</span> Richtungsvektoren lässt sich aus <span class="math inline">a \perp c \lrArr a \cdot c = 0</span> und <span class="math inline">b \perp c \lrArr b \cdot c = 0</span> folgendes herleiten:</p>
<p><span class="math inline">a \times b = c = (a_2 b_3 - a_2 b_3, a_3 b_2 - a_2 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)</span></p>
<p><span class="math inline">|a \times b| = |a||b| \cdot sin(\alpha)</span></p>
<p>Ergebnis ist ein Richtungsvektor <span class="math inline">c</span> (weswegen das Kreuzprodukt häufig auch <em>Vektorprodukt</em> genannt wird), der orthogonal zu <span class="math inline">a, b</span> steht (außerdem entspricht die Länge <span class="math inline">|c|</span> dem Volumen des von <span class="math inline">a, b</span> aufgespannten Parallelogramms).</p>
<h1 id="geraden">Geraden</h1>
<h2 id="formen">Formen</h2>
<p>Eindeutig gegeben durch zwei verschiedene Punkte <span class="math inline">A, B</span>. Der Richtungsvektor lässt sich dann wahlweise von <span class="math inline">A</span> nach <span class="math inline">B</span> oder <span class="math inline">B</span> nach <span class="math inline">A</span> bestimmen. Sowohl <span class="math inline">A</span> als auch <span class="math inline">B</span> können als Stützvektor verwendet werden.</p>
<p>Stützvektor (= beliebiger Punkt auf Gerade) plus Skalar <span class="math inline">s</span> mal Richtungsvektor <span class="math inline">b</span> der Geraden: <span class="math inline">g: x = A + sb</span>.</p>
<h2 id="schnitte">Schnitte</h2>
<p>Einfach Gleichungen gleichsetzen: Punkt-Gerade-Schnitt (Probe, ob Punkt enthalten), Gerade-Gerade-Schnitt, Punkt-Ebene-Schnitt. Fallunterscheidung im Dreidimensionalen.</p>
<ul>
<li>Punkt-Gerade-Schnitt
<ul>
<li>Eine Lösung / Gleichung erfüllt: Punkt liegt auf Gerade</li>
<li>Keine Lösung / Gleichung nicht erfüllt: Punkt liegt nicht auf Gerade</li>
</ul></li>
<li>Punkt-Ebene-Schnitt, analog zum Punkt-Gerade-Schnitt:
<ul>
<li>Eine Lösung / Gleichung erfüllt: Punkt liegt auf Ebene</li>
<li>Keine Lösung / Gleichung nicht erfüllt: Punkt liegt nicht auf Ebene</li>
</ul></li>
<li>Gerade-Gerade-Schnitt
<ul>
<li>Unendlich viele Lösungen: “Gleiche” Gerade, d.h. parallel und kein Abstand zwischen den Geraden</li>
<li>Eine Lösung: Schnittpunkt</li>
<li>Keine Lösung:
<ul>
<li>Windschief</li>
<li>Parallel, wenn Richtungsvektoren kolinear</li>
</ul></li>
</ul></li>
</ul>
<!-- TODO refine -->
<h2 id="abstand-punkt-gerade">Abstand Punkt-Gerade</h2>
<p>Gegeben: Ein Punkt <span class="math inline">p</span> und eine Gerade <span class="math inline">g</span>. Gesucht: Der Abstand <span class="math inline">d</span> zwischen <span class="math inline">p</span> und <span class="math inline">g</span>.</p>
<p>Finde den zu <span class="math inline">p</span> am nächsten liegenden Punkt <span class="math inline">x</span> auf der Geraden. Es muss gelten <span class="math inline">(p - x) \perp b</span>. Wir erhalten als Gleichung:</p>
<p><span class="math inline">(p - (A + sb)) \cdot b = 0 \lrArr (p - A - sb) \cdot b = 0 \lrArr p \cdot b - A \cdot b - s(b \cdot b)</span>. Man erhält eine Lösung für <span class="math inline">s</span>. Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Punkt <span class="math inline">x</span>. Schließlich muss der Abstand berechnet werden; siehe dafür <a href="#abstand">Abstand</a>.</p>
<h2 id="abstand-zweier-windschiefer-geraden">Abstand zweier windschiefer Geraden</h2>
<p>Normalenvektor der Hilfsebene als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, Stützvektor ein Punkt von Gerade A. Abstand von beliebigem Punkt der Geraden B zur Hilfsebene bestimmen.</p>
<h3 id="alternativ-punktprodukt">Alternativ: Punktprodukt</h3>
<p>Ziehe von <span class="math inline">p</span> <span class="math inline">A</span> ab (verschiebe <span class="math inline">p</span>). Verschiebe ebenfalls <span class="math inline">g</span>, sodass <span class="math inline">g</span> durch den Ursprung geht; an der relativen Lage von Punkt und Gerade ändert sich dabei nichts. Berechne nun <span class="math inline">\frac{(p - A) \cdot b}{|b|} = s}</span>: Das Punktprodukt liefert die Länge der Projektion auf die Gerade, diese muss nur noch durch die Länge des Richtungsvektors geteilt werden, da wir in der Geradengleichung ja damit multiplizieren (und der Richtungsvektor nicht normiert ist).</p>
<h1 id="ebenen">Ebenen</h1>
<p>Eindeutig gegeben durch drei verschiedene Punkte. Parameterform konstruierbar, indem man einen Punkt als Stützvektor wählt und von diesem aus die beiden Spannvektoren bestimmt:</p>
<p>Gegeben Punkte <span class="math inline">A, B, C</span>, wähle <span class="math inline">A</span> als Stützvektor. Dann ergeben sich Spannvektoren <span class="math inline">b, c</span> als <span class="math inline">b = B - A</span>, <span class="math inline">c = C - A</span>. Somit ist die Parameterform: <span class="math inline">E: x = A + sb + tc</span> mit <span class="math inline">s, t</span> Skalaren.</p>
<h2 id="formen-1">Formen</h2>
<h3 id="parameterform">Parameterform</h3>
<p><span class="math inline">E: x = A + sb + tc</span> mit <span class="math inline">x</span> Punkt auf Ebene, <span class="math inline">A</span> Stützvektor, <span class="math inline">s, t</span> Skalaren und <span class="math inline">b, c</span> Spannvektoren.</p>
<p>Bestimmung aus Koordinatenform: Drei Punkte <span class="math inline">A, B, C</span> durch Einsetzen in die Koordinatenform bestimmen (bspw. Spurpunkte).</p>
<h3 id="normalenform">Normalenform</h3>
<p>Punktprodukt aus Punkt <span class="math inline">x</span> minus Stützvektor <span class="math inline">P</span> mit Normalenvektor <span class="math inline">n</span> muss null sein (siehe <a href="#orthogonalität">Orthogonalität</a>): <span class="math inline">E: n \cdot (x - P) = 0</span>. Lässt sich einfach umstellen:</p>
<p><span class="math inline">E: n \cdot (x - P) = 0 \lrArr n \cdot x - n \cdot P = 0 \lrArr n \cdot x = n \cdot P</span>, wobei <span class="math inline">n \cdot P</span> als Skalar ausgerechnet werden kann (“vereinfachte” Normalenform).</p>
<p>Bestimmung aus Parameterform: <span class="math inline">n = b \times c</span> (Normalenvektor als Kreuzprodukt der SPannvektoren), <span class="math inline">P = A</span> (Stützvektor / beliebiger Punkt auf Ebene).</p>
<p>Bestimmung aus Koordinatenform: Trivial. Komponenten des Normalenvektors sind Koeffizienten von <span class="math inline">x_1, x_2, x_3</span>. Wenn <span class="math inline">P</span> bestimmt werden muss, lässt sich eine beliebige Lösung für <span class="math inline">x_1, x_2, x_3</span> nehmen (bspw. Spurpunkte).</p>
<h4 id="koordinatenform">Koordinatenform</h4>
<p>Bestimmung aus Normalenform: Setze <span class="math inline">P = (x_1, x_2, x_3)</span>. Es ergibt sich <span class="math inline">ax_1, bx_2, cx_3 = d</span> mit <span class="math inline">a, b, c, d</span> Skalaren. In <span class="math inline">d</span> steckt der Abstand zum Ursprung sowie die Länge des Normalenvektors.</p>
<h5 id="spurpunkte">Spurpunkte</h5>
<p>Als Spurpunkte bezeichnet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. In der Koordinatenform sind Spurpunkte einfach zu bestimmen, indem man jeweils zwei Variablen auf <span class="math inline">0</span> setzt:</p>
<ul>
<li>Schnittpunkt mit <span class="math inline">x_1</span>-Achse: <span class="math inline">x_2 = 0</span> und <span class="math inline">x_3 = 0</span> setzen</li>
<li>Schnittpunkt mit <span class="math inline">x_2</span>-Achse: <span class="math inline">x_1 = 0</span> und <span class="math inline">x_3 = 0</span> setzen</li>
<li>Schnittpunkt mit <span class="math inline">x_3</span>-Achse: <span class="math inline">x_1 = 0</span> und <span class="math inline">x_2 = 0</span> setzen</li>
</ul>
<p>Es kann sein, dass nicht alle Spurpunkte existieren (Koeffizienten können <span class="math inline">0</span> sein, dann schneidet sich die Ebene nicht mit der Koordinatenachse):</p>
<ul>
<li>Ein Koeffizient <span class="math inline">0</span> (bspw. <span class="math inline">x_1 + x_2 = 1</span>): Schnitte mit zwei Koordinatenachsen</li>
<li>Zwei Koeffizienten <span class="math inline">0</span>: Schnitt mit einer Koordinatenachse (Normalenvektor ist parallel zu einer Koordinatenachse)</li>
</ul>
<p>Wenn außerdem <span class="math inline">d = 0</span> ist, geht die Ebene durch den Ursprung. In diesem Fall sind unendlich viele Spurpunkte auf allen Achsen, die Koeffizient <span class="math inline">0</span> haben möglich; bei der Spurpunktebestimmung erhält man dann Gleichungen <span class="math inline">0 = 0</span>.</p>
<h2 id="schnitte-1">Schnitte</h2>
<p>Einfach gleichsetzen: Punkt-Ebene-Schnitt (Probe, ob Punkt enthalten), Gerade-Ebene-Schnitt, Ebene-Ebene-Schnitt.</p>
<ul>
<li>Gerade-Ebene-Schnitt
<ul>
<li>Unendlich viele Lösungen: Gerade liegt in Ebene, d.h. orthogonal zum Normalenvektor</li>
<li>Eine Lösung: Schnittpunkt. Wenn zusätzlich der Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor ist, steht die Gerade orthogonal zur Ebene.</li>
<li>Keine Lösung: Gerade ist parallel zur Ebene, d.h. orthogonal zum Normalenvektor</li>
</ul></li>
<li>Ebene-Ebene-Schnitt
<ul>
<li>Unendlich viele Lösungen:
<ul>
<li>Auf einer Schnittgerade</li>
<li>Gleiche Ebenen: Ebenen parallel (Normalenvektoren kolinear)</li>
</ul></li>
<li>Keine Lösung: Parallel (Normalenvektoren kolinear)</li>
</ul></li>
</ul>
<h2 id="abstand-punkt-ebene"><a href="https://appgurueu.github.io/mathe/abstand-punkt-ebene/">Abstand Punkt-Ebene</a></h2>
<h1 id="shortcuts">Shortcuts</h1>
<h2 id="kreuzprodukt-zur-dreiecksflächenbestimmung">Kreuzprodukt zur Dreiecksflächenbestimmung</h2>
<p>Bestimme <span class="math inline">|A \times B| / 2</span></p>
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25
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<title>Mathe-Skripte</title>
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<h1 class="title">Mathe-Skripte</h1>
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<ul>
<li><a href="Analysis.html">Analysis</a></li>
<li><a href="Stochastik.html">Statistik &amp; Stochastik</a></li>
<li><a href="Vektorgeometrie.html">Vektorielle Geometrie</a></li>
</ul>
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