Addition der Produkte der jeweiligen Komponenten. Ergebnis ist ein Skalar, weswegen das Punktprodukt auch als Skalarprodukt bekannt ist. Gleich dem Produkt der Längen mal dem Cosinus des Winkels \alpha zwischen den Vektoren a, b:
a \cdot b = cos(\alpha)|a||b| = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
+Orthogonalität heißt, dass der Winkel zwischen den zwei Richtungsvektoren 90° beträgt. Dann ist der Cosinus und somit das Punktprodukt 0.
a \perp b \lrArr a \cdot b = 0
Bei Parallelität der Richtungsvektoren beträgt der Winkel 0°, der Cosinus nimmt einen Wert von 1 and und somit ist das Punktprodukt das Produkt der Längen der beiden Vektoren.
a \parallel b \lrArr a \cdot b = |a||b|. Allerdings prüft man Parallelität am Besten über Kolinearität.
+Einen Vektor normieren, dann Punktprodukt. Resultierende Zahl mit dem normierten Vektor multiplizieren (dies ist die parallele Komponente) und vom nicht-normierten Vektor abziehen. Es bleibt die orthogonale Komponente.
Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren entspricht dem Punktprodukt geteilt durch die Länge der Vektoren
+Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren entspricht dem Punktprodukt geteilt durch die Länge der Vektoren (Herleitung über Umstellen des Punktprodukts nach \alpha)
\alpha = acos(\frac{a \cdot b}{|a||b|})
+Der resultierende Winkel kann - falls a \cdot b < 0 ist - größer als 180° sein. Nach unserer Definition sind Schnittwinkel aber immer Innenwinkel und dürfen also maximal 180° betragen. Hierzu kann man entweder:
+360° - \alpha nachher rechnen, oder statt a \cdot b den Betrag |a \cdot b| in der Rechnung verwenden.
Für a, b Richtungsvektoren lässt sich aus a \perp c \lrArr a \cdot c = 0 und b \perp c \lrArr b \cdot c = 0 folgendes herleiten:
a \times b = c = (a_2 b_3 - a_2 b_3, a_3 b_2 - a_2 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)
|a \times b| = |a||b| \cdot sin(\alpha)
Ergebnis ist ein Richtungsvektor c (weswegen das Kreuzprodukt häufig auch Vektorprodukt genannt wird), der orthogonal zu a, b steht (außerdem entspricht die Länge |c| dem Volumen des von a, b aufgespannten Parallelogramms).
+a \times b \neq b \times a: Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ.
+V = a \cross b \cdot c ist das Volumen eines von a, b, c aufgespannten Spats (Parallelepiped).
+Begründung: a \cross b ist ein Vektor, dessen Länge die Grundfläche (Parallelogramm) und dessen Ausrichtung senkrecht zur Grundfläche ist. Das Punktprodukt dieses Vektors mit c liefert also den zu c parallelen Anteil (Höhe) als h=cos(\alpha)|c| mal der Grundfläche G = |a \cross b|.
+Darstellung linearer Gleichungssysteme (LGS) in Matrizenform. Lösen mit dem Gauss-Jordan-Verfahren: Erst Variablen eliminieren, dann resubstituieren.
Eindeutig gegeben durch zwei verschiedene Punkte A, B. Der Richtungsvektor lässt sich dann wahlweise von A nach B oder B nach A bestimmen. Sowohl A als auch B können als Stützvektor verwendet werden.
@@ -119,7 +135,7 @@Punktprodukt aus Punkt x minus Stützvektor P mit Normalenvektor n muss null sein (siehe Orthogonalität): E: n \cdot (x - P) = 0. Lässt sich einfach umstellen:
E: n \cdot (x - P) = 0 \lrArr n \cdot x - n \cdot P = 0 \lrArr n \cdot x = n \cdot P, wobei n \cdot P als Skalar ausgerechnet werden kann (“vereinfachte” Normalenform).
-Ist zusätzlich |n| = 1, der Normalenvektor also normiert, bezeichnet man die “vereinfachte” Normalenform als hessesche Normalenform. Dann kann die hessesche Abstandsformel angewandt werden.
+Ist zusätzlich |n| = 1, der Normalenvektor also normiert, bezeichnet man die “vereinfachte” Normalenform als hessesche Normalenform. Dann kann die hessesche Abstandsformel angewendet werden.
Bestimmung aus Parameterform: n = b \times c (Normalenvektor als Kreuzprodukt der SPannvektoren), P = A (Stützvektor / beliebiger Punkt auf Ebene).
Bestimmung aus Koordinatenform: Trivial. Komponenten des Normalenvektors sind Koeffizienten von x_1, x_2, x_3. Wenn P bestimmt werden muss, lässt sich eine beliebige Lösung für x_1, x_2, x_3 nehmen (bspw. Spurpunkte).